斯坦福CS229 | 感知器和广义线性模型

斯坦福CS229讲解了广义线性模型(GLM)和softmax回归。GLM是指数族的扩展,它将输入特征与参数相关联,并使用链接函数将参数转换为输出概率。对于多类分类,我们使用softmax回归,其中每个类别具有自己的参数。通过最大似然估计,我们可以通过梯度下降来学习参数,以使模型的输出概率与实际标签接近。最终目标是最小化交叉熵损失函数,以使模型的预测与实际标签一致。

感知器和广义线性模型:斯坦福CS229中介绍了两个算法:感知器算法和逻辑回归。感知器算法在实践中并不常用,但它简单易懂,适合学习和分析。它使用一个类似于逻辑回归的函数来进行分类,但是输出结果是0或1。两个算法的更新规则相似,但X的每个状态在两种算法中的含义不同。这两个算法和线性回归有共同的主题,这将在后续内容中讲解。

感知器算法和指数家族:斯坦福CS229讲解了感知器算法和指数家族。感知器算法是一种在线学习的算法,通过不断调整决策边界来实现分类。当一个样本已经被正确分类时,算法不做任何操作;当一个样本被错误分类时,算法会根据学习率调整决策边界。指数家族是一类没有概率解释的模型,它在几何上描述了决策边界。感知器算法曾经被认为是大脑工作的模型,但由于其局限性,人们逐渐对其失去兴趣。逻辑回归可以看作是感知器算法的一种更加柔和的版本。

回归和指数族:回归是感知器的软版本,可以通过调整学习率来提高准确率。指数族是一类概率分布,可用于模型输出。指数族的概率密度函数可由数据、参数和基本度量函数表示。基本度量函数是归一化常数,用于归一化概率分布。分区函数是归一化常数的对数。

指数族分布转化:在斯坦福CS229中,我们讲解了指数族分布,以及如何将一个分布转化为指数族的形式。指数族分布的形式是通过对数转换后的表达式,其中包含一个基本度量项和一个参数项。我们以伯努利分布为例,将其表达式转化为指数族的形式,并通过模式匹配找到了对应的基本度量项和参数项。最后,我们还介绍了如何通过参数项来计算基本度量项。

指数族分布的数学属性:斯坦福CS229的章节介绍了指数族分布的数学属性。指数族分布在参数化为自然参数时,最大似然估计是凹的。同时,对数似然函数的负值可以作为最小化的损失函数。这些数学属性使得指数族分布在概率模型中具有重要的应用价值。

广义线性模型(GLM):斯坦福CS229讨论了广义线性模型(GLM)。GLM是指将指数族模型扩展到线性模型中,可以通过选择适当的指数族分布来构建强大的模型。GLM的假设是,给定输入X,输出Y的条件分布是指数族的成员。而设计选择是将参数θ与输入X的线性组合作为η,即η = θ^T X。通过这些假设和设计选择,我们可以通过求导来计算模型的均值和方差,而无需进行积分。这使得GLM更易于处理和推导。

广义线性模型(GLM):斯坦福CS229中介绍了广义线性模型(GLM)。GLM是指数族分布的扩展,通过线性模型对参数进行参数化。在训练过程中,我们使用最大似然估计对参数进行优化。通过梯度下降,我们优化模型输出的分布参数,以获得对输入的预测。这种方法适用于不同分布的数据,如高斯、伯努利等。

GLM训练细节:斯坦福CS229主要讲述了在训练时使用GLM的一些细节。使用GLM的一个附带好处是我们可以使用对数问题的对数概率来进行最大似然分析,而不需要进行更多的代数运算。无论使用哪种GLM,学习更新规则都是相同的,只需根据选择的分布插入适当的参数即可。牛顿方法是最常用的GLM学习方法,只要数据维度不是非常高,都可以使用。此外,还介绍了自然参数、规范参数和模型参数的概念。

参数化的三种方式:斯坦福CS229讲解了参数化的三种不同方式,无论是指数族还是GLM,在学习GLM时,我们只学习到线性模型中的theta。我们选择使用2×2的线性模型,并且通过G和G逆之间的连接来得到自然参数。这种选择是设计的一部分。此外,章节还讨论了选择分布的依据,根据任务的不同,选择不同的分布对于模型的建立很重要。

线性模型和逻辑回归:斯坦福CS229介绍了回归和分类问题中的线性模型和逻辑回归。对于回归问题,我们假设存在一个线性模型,其中的参数通过最大似然估计来确定。对于分类问题,我们使用逻辑回归来建立一个概率分布,以确定样本属于某一类的概率。通过最大似然估计,我们可以找到最佳的参数,从而得到一个sigmoid曲线,使得样本的分类结果最有可能。

softmax回归:斯坦福CS229介绍了softmax回归的概念和原理。在多类分类中,我们需要学习一个模型,通过输入数据点来预测其所属的类别。每个类别都有自己的一组参数,通过线性函数来表示。我们的目标是找到合适的参数,使得对应的类别线能够正确划分数据点。这种方法是逻辑回归的一种推广,可以应用于多类分类问题。

预测新样本的类别:斯坦福CS229讲述了如何使用参数来预测一个新样本的类别。通过将参数与样本进行计算,可以得到一组正数,然后将其标准化后得到类别的概率分布。最终的目标是通过最小化真实类别的概率分布与预测概率分布之间的交叉熵来优化参数。这个过程可以使用梯度下降算法实现。

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