吴恩达机器学习专项课程 | 多维特征

欢迎回归课堂。本周,我们将深入探讨吴恩达机器学习专项课程中的多维特征,如何使线性回归算法更加高效与强大,至本周末,您将顺利完成第一门课程的三分之二内容。现在,让我们一起探索线性回归的更高级形式,这种形式不仅关注一个特征,而是能够同时处理多个不同的特征。

在线性回归的原始版本中,我们仅利用一个特征x,如房屋的大小,来预测y,即房屋的价格。然而,当我们拥有更多的信息,比如卧室的数量、楼层数和房屋的使用年限,预测的准确度会大大提高。

为了简化表达,我们将使用X_1、X_2、X_3和X_4等变量来代表这四个特征。为了表述方便,我们用X下标j或简称X_j来表示特征列表中的每一个特征。在这里,j的取值范围是从1到4,因为我们恰好有四个特征。我们用小写n来表示特征的总数,在这个例子中,n就等于4。

和之前一样,我们使用X上标i来表示第i个训练样本。这里的X上标i实际上是一个包含四个数字的列表,或者说是一个向量,它包含了第i个训练样本的所有特征。例如,X上标2就代表第二个训练样本的特征向量,其值为[1416, 3, 2, 40]。

当我们需要引用第i个训练样本中的某个具体特征时,我们会使用X上标i下标j的表示方法。比如X上标2下标3就表示第二个训练样本中的第三个特征值,也就是楼层数,其值为2。

有时,为了强调X^i不是一个单一的数字,而是一个数字的列表或向量,我们会在其上方添加一个箭头。这主要是为了直观地表示它是一个向量。不过,在您的笔记或计算中,这个箭头并不是必需的。

现在我们有了多个特征,那么模型会如何表示呢?在以前,我们定义模型的方式是X乘以一个权重加上一个偏置项。但现在,由于我们有了多个特征,模型的定义方式会有所不同。新的模型可以表示为w1x1 + w2x2 + w3x3 + w4x4 + b。

以房价预测为例,一个可能的模型是:房价估计 = 0.1房屋面积 + 4卧室数量 + 10楼层数 – 2房屋使用年限 + 80。这里的每一个权重都反映了对应特征对房价的影响程度。

如何解读这些参数呢?假设我们的模型是以千美元为单位预测房价,那么b=80可以解读为房屋的基本价格可能是80,000美元,这是在没有考虑大小、卧室、楼层和年限的情况下的估计。0.1表示每增加一平方英尺,房价可能上涨100美元。4表示每增加一个卧室,房价可能上涨4,000美元。以此类推,负2表示每增加一年使用年限,房价可能下降2,000美元。

一般来说,如果有n个特征,模型就会是上述形式的扩展。为了简化表达,我们可以引入一些新的符号来重写这个模型。我们将W定义为一个包含所有权重w1到wn的列表或向量,同样地,X也是一个包含所有特征x1到xn的列表或向量。这样,模型就可以更简洁地表示为W点乘X再加上b。这里的点乘是指两个向量的对应元素相乘后再求和的操作。

通过引入这些新的符号和表示方法,我们可以更清晰地理解和操作线性回归模型,尤其是在处理多个特征时。在接下来的学习中,我们将进一步探索这些概念,并学习如何利用它们来优化我们的预测模型。

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