斯坦福CS229 | 近似/估计误差和 ERM

斯坦福CS229讲解了学习理论中的近似误差和估计误差,介绍了ERM(经验风险最小化)的概念和统一收敛性,探讨了假设和参数之间的关系。通过哈斯丁不等式和联合不等式,解释了训练误差和泛化误差之间的关系,以及最小化训练误差对泛化误差的影响。最后提到VC维度的概念,强调了在无限类别情况下,样本的数量与VC维度的关系。

学习理论核心概念:斯坦福CS229介绍了学习理论的核心概念,包括偏差-方差权衡、误差分解、经验风险最小化和VC维度等内容。学习算法的输出是一个假设,是一个随机变量,而参数的分布被称为抽样分布。同时,存在一个真实参数,但我们无法直接观察到。

随机变量Theta星/H星:斯坦福CS229介绍了关于随机变量的一些概念,重点是关于Theta星或H星的概念。Theta星或H星是一个不随机的未知常数,没有概率分布。讨论了参数估计和真实值的关系,以及偏差和方差的概念。通过对参数空间的讨论,解释了偏差和方差的含义。

偏差和方差重要性:斯坦福CS229讨论了偏差和方差在机器学习中的重要性。偏差是样本均值与真实参数的差异,而方差是样本中的离散程度。算法的偏差高意味着无论提供多少数据,都无法接近真实参数;而方差高则容易被数据中的噪音影响。偏差和方差是相互独立的,可以通过调整算法来平衡二者。

处理偏差和方差:斯坦福CS229讲述了在算法中如何处理偏差和方差的问题。偏差和方差是算法在给定大小M时的属性,高偏差低方差代表算法欠拟合,高方差代表算法过拟合。为了解决高方差问题,增加数据量可以减少方差。正则化是另一种方法,通过引入偏差来降低方差。通过训练和测试性能比较可以检测偏差和方差。

泛化误差概念:斯坦福CS229介绍了关于泛化误差的概念。泛化误差由三个部分组成:不可消除的误差、逼近误差和估计误差。不可消除的误差是由数据本身决定的,无论如何都无法消除。逼近误差是由于选择特定的模型类别而导致的误差。估计误差是由于有限数据和算法本身的特性导致的误差。估计误差可进一步分解为估计方差和估计偏差。这些误差组成了泛化误差,影响模型的性能。

平衡偏差和方差:斯坦福CS229讨论了偏差和方差的概念,指出偏差是由于假设与真实情况有差异引起的,而方差则是由数据量不足等原因导致的。通过增大假设空间来减少偏差,但可能增加方差;而通过正则化来减少方差,但可能引入偏差。在机器学习中需要平衡偏差和方差。

逻辑回归与梯度下降:斯坦福CS229主要讲解了逻辑回归模型和梯度下降算法的关系,以及通过经验风险最小化来选择最优模型的理论。通过限制学习算法在一定的假设空间内寻找最小化训练误差的模型,可以得到更多理论结果,如均匀收敛。重点关注了训练误差和泛化误差之间的关系,这是本章节的核心问题。

假设泛化误差工具:斯坦福CS229讨论了两个中心问题:我们学习的假设的泛化误差如何与最佳假设的泛化误差相比;并介绍了两个工具,Union bound和Hoeffding inequality,来探索这些问题。Hoeffding inequality说明了估计参数与真实参数之间的绝对差异概率可以被一个表达式限定。这些工具有助于理解学习算法的性能。

霍夫丁不等式和估计器:斯坦福CS229介绍了如何使用工具1和工具2来回答中心问题,重点讨论了霍夫丁不等式和最大似然估计器的一致性。通过样本构建估计器,并探讨了非凸性对估计器的影响。最后,通过图示解释了泛化误差和经验误差的概念,为后续讨论提供了基础。

期望值和泛化误差:在斯坦福CS229中,我们讨论了关于期望值和未定义的概念,以及如何将这些概念应用于样本数据中的泛化误差和经验误差之间的差距。我们介绍了Halflings不等式和一致收敛的概念,并探讨了有限和无限假设类的情况。通过这些讨论,我们可以更好地理解泛化误差和经验误差之间的关系。

Union bound关系讨论:斯坦福CS229主要讲述了通过应用Union bound来推导出一个与样本大小、误差边界和泛化错误之间的关系。通过调整样本大小和误差边界,我们可以得出与训练误差最小化算法相关的一些可行结果。同时,还讨论了如何通过最小化训练误差来接近泛化误差。

泛化误差及VC维度:斯坦福CS229讲述了关于泛化误差的概念,以及如何将数据集上的经验风险最小化与在真实世界中的误差进行比较。通过推导,得出了关于假设的泛化误差与最佳类别的泛化误差之间的关系,并介绍了VC维度的概念。最终指出,数据示例的数量通常与VC维度成正比,以获得良好的结果。

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